Шпоры (шпаргалки) по матану

1. Двойной интеграл
2. Понятие числового ряда и его суммы
3. Условие существования двойного интеграла
4. Геометрический и арифметический ряды
5. Основные свойства двойного интеграла
6. Двойной интеграл в полярных координатах
7. Замена переменных в двойном интеграле.
8. Общий случай криволинейных координат
9. Необходимый признак сходимости рядов
10. Сведение двойного интеграла к повторному
11. Свойства сходящихся рядов
12. Признаки сравнения
13. Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле
14. Вычисление площади плоской области с помощью двойного интеграла
15. Вычисление объема с помощью двойного интеграла
16. Замена переменных в тройном интеграле.
17. Вычисление массы, координат центра масс, моментов инерции плоской материальной пластины с помощью двойного интеграла.
18. Тройные интегралы
19. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.
20. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
21. Признак Вейерштрасса.
22. Свойства равномерно сходящихся рядов
23. Знакопеременные ряды.
24. Абсолютная и условная сходимость рядов.
25. Сходимость функциональных последовательностей и рядов
26. Приложения тройных интегралов
27. Степенные ряды. Теорема Абеля
28. Условия существования и вычисления криволинейных интегралов.
29. Свойства степенных рядов
30. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
31. Определение криволинейных интегралов 1 и 2 рода
32. Свойства криволинейных интегралов
33. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
34. Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.
35. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
36. Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
37. Двойной интеграл в полярных координатах
38. Некоторые приложения криволинейных интегралов 1 рода.
39. Замена переменных в тройном интеграле
40. Формула Грина
41. Условия существования и вычисления криволинейных интегралов

1. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла
2. Классы интегрируемых функций
3. Замена переменной в неопределенном интеграле.
4 . Интегрирование рациональных дробей
5. Интегрирование простейших дробей 1, 2, 3 типов
6. Интегрирование иррациональных выражений
7. Интегрирование тригонометрических функций
8. Интегрирование дифференциального бинома
9. Интегрирование по частям
10. Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла
11. Определенный интеграл. Механический и геометрический смысл
12. Суммы Дарбу
13. Свойства определенного интеграла
14. Оценка интеграла
15. Замена переменной в определенном интеграле
16. Общая схема применения определенного интеграла
17. Вычисление площади плоской фигуры, заданной в декартовой и полярной
18. Вычисление длины дуги плоской кривой, заданной в декартовой и полярной системе координат
19. Полярная система координат. Вычисление площади плоской фигуры, заданной в полярной системе координат
20. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
21. Несобственные интегралы: бесконечный промежуток интегрирования
22. Несобственные интегралы: случай разрывной функции
23. Несобственные интегралы: признаки сходимости
24. Приближенное вычисление интеграла: формула прямоугольников
25. Приближенное вычисление интеграла: формула трапеций
26. Приближенное вычисление интеграла: формула Симпсона

1. Символика математической логики.
2. Промежутки. Окрестность точки. Ограниченные множества.
3. Понятие функции. Способы задания функции. Основные элементарные функции
4. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
5. Предел функции. Бесконечно большие функции. Ограниченные функции.
6. Бесконечно малые функции и их свойства.
7. Основные теоремы о пределах.
8. Первый замечательный предел.
9. Число е. Второй замечательный предел. Гиперболические функции.
10. Различные определения непрерывности функции и их эквивалентность. Действия над непрерывными функциями. Точки разрыва.
11. Сравнение бесконечно малых функций.
12. Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной. Ге геометрический и механический смысл.
13. Связь дифференцируемости с непрерывностью функции.
14. Основные правила дифференцирования.
15. Производная сложной функции.
16. Производная обратной функции.
17. Таблица производных основных функций.
18. Дифференцирование неявной функции.
19. Производная степенно-показательной функции.
20. Производная функции, заданной параметрически.
21. Производные высших порядков.
22. Дифференциал функции и его свойства. Дифференциалы высших порядков.
23. Теоремы Роля. Коши. Лагранжа.
24. Виды неопределенностей. Правило Лопиталя.
25. Производные высших порядков от функций, заданных неявно и параметрически.
26. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум функции.
27. Необходимое условие экстремума. Первое и второе достаточные условия существования экстремумов.
28. Выпуклость и вогнутость графика функции. Гонки перегиба. Достаточные условия точки перегиба.
29. Асимптоты графика функции.
30. Четные и нечетные функции. Периодические функции.
31. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
32. Многочлен в комплексной области. Основные теоремы о корнях целой рациональной функции.
33. Разложение дробной рациональной функции на сумму простейших дробей.
34. Синусои

1. Числовые ряды с положительными членами. Сумма ряда. Свойства рядов. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Некоторые свойства.
2. Необходимый признак сходимости ряда.
3. Сравнение рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости рядов (теоремы сравнения). Некоторые ряды, использующиеся в качестве сравнения.
4. Достаточный признак сходимости Даламбера.
5. Радикальный признак сходимости Коши.
6. Интегральный признак сходимости Коши.
7. Ряды с произвольными членами. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
8. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак абсолютной сходимости. Свойства.
9. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Мажорируемые ряды.
10. Свойства равномерных или правильно сходящихся рядов. Непрерывность суммы функционального ряда.
11.Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Интервал сходимости степенного ряда. Интервал сходимости ряда по степеням
12. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Достаточные условия разложения функций в степенные ряды.
13. Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды.
14. Некоторые методы разложения функции в степенные ряды.
15. Применение рядов к приближенным вычислениям. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
16. Ряды Фурье. Период функции. Гармоника. Тригонометрические ряды. Достаточное условие разложения функции в ряд Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Четное и нечетное продолжение функции в соседний интервал. Разложение функции на произвольном интервале

1. Рациональные числа и их основные свойства. Недостаточность множества рациональных чисел для решения задач измерения.
2. Множества. Точные верхняя и нижняя грани множества.
3. Поле действительных чисел. Аксиома полноты Вейерштрасса.
4. Свойства действительных чисел (аксиома Архимеда, плотность Q в R).
5. Принцип полноты Дедекинда (сечения).
6. Принцип полноты Кантора (принцип вложенных отрезков).
7. Числовые функции. Способы задания функций.
8. Иньекция, сюрьекция, биекция. Определение и примеры.
9. Композиция функций. Примеры. Обратная функция. Примеры.
10. Бесконечно малые последовательности. Определение и свойства. Примеры.
11. Предел последовательности. Разные определения предела последовательности. Единственность предела.
12. Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
13. Предельный переход в неравенствах.
14. Предел монотонной последовательности.
15. Число «е». Замечательный предел.
16. Точки сгущения последовательности. Частичные пределы. Подпоследовательность. Теорема о точке сгущения последовательности.
17. Теорема Больцано-Вейерштрасса о точке сгущения ограниченной последовательности.
18. Последовательность Коши. Критерий Коши существования предела последовательности.
19. Предел функции в точке, единственность предела.
20. Функции бесконечно малые в точке и их свойства.
21. Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций.
22. Второй замечательный предел.
23. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
24. Теорема о пределе сложной функций.
25. Определение предела функции по Коши по Гейне. Эквивалентность различных определений предела.
26. Лемма Бореля – Лебега о покрытии отрезка интервалами.
27. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций.
28. Точки разрыва функции. Примеры.